Automatica > Analisi applicata dei sistemi e ricerca operativa > Dinamica dei sistemi complessi

Rinaldi Sergio

Focus

L’attività di ricerca riguarda lo studio dei sistemi dinamici in cui comportamenti complessi possono emergere al variare di parametri di controllo. La complessità può essere presente, ad esempio nella forma classica di “caos deterministico”, non solo nei sistemi di tipo standard (descritti da equazioni differenziali regolari) ma anche nei sistemi discontinui, dove sono possibili le cosiddette “dinamiche di scivolamento”, o in quelli adattativi, dove l’interazione tra dinamiche lente e veloci può produrre comportamenti molto peculiari. Di grande rilievo, anche per le ricadute applicative, è lo studio delle reti di sistemi dinamici in cui, per particolari topologie di collegamento, possono emergere comportamenti collettivi di notevole significato, come la formazione e propagazione di onde e vortici.
L’attività di ricerca è svolta principalmente attraverso studi a carattere applicativo in aree tra loro molto diversificate (dall’ingegneria meccanica alla biologia, dall’economia alla sociologia), ma anche attraverso la messa a punto di contributi teorici e lo sviluppo di software per l’analisi dei sistemi dinamici non lineari.
  • Analisi di biforcazione di sistemi standard: Lo studio dei sistemi dinamici descritti da equazioni differenziali continue e dipendenti da uno o più parametri di controllo si esegue per mezzo dell’analisi di biforcazione. In tale contesto, esistono ancora numerose questioni aperte che necessitano di uno sforzo di inquadramento teorico, tra cui varie problematiche riguardanti le biforcazioni di codimensione 2. Di particolare interesse pratico è anche lo studio per via numerica di tali biforcazioni, basato su tecniche dette "di continuazione", anche al fine di migliorare il software di analisi oggi disponibile.
  • Sistemi discontinui: La teoria dei sistemi dinamici si è perlopiù sviluppata su ipotesi di regolarità delle equazioni descrittive dei fenomeni in esame, ipotesi che, nel mondo reale, spesso risultano non soddisfatte. In molti esempi, dall'impianto frenante di un autoveicolo all’alternanza di governo in una democrazia bipartitica, è facile riconoscere la presenza di discontinuità e irregolarità. Lo studio di questi fenomeni (formalizzati attraverso sistemi di Filippov, a commutazione, ibridi, ecc.) richiede nuove tecniche e strumenti matematici e presenta ancora svariati problemi aperti.
  • Evoluzione di sistemi adattativi: Meccanismi di innovazione e competizione sono identificabili in vari settori (biologia, tecnologia dell’informazione, economia, sociologia) e determinano l’evoluzione di sistemi costituiti da singole unità raggruppabili in funzione dei loro tratti caratteristici. In assenza di innovazione, la dinamica demografica dei gruppi è regolata dalla competizione e può essere formalizzata con modelli dinamici non lineari. Un’innovazione consiste nella nascita di un gruppo di poche unità caratterizzate da un valore innovativo di qualche tratto. Ad un evento di innovazione segue un processo di competizione che determina il successo o meno dell’innovazione. Tenendo conto che i tassi di innovazione sono tipicamente bassi rispetto a quelli demografici, è possibile inferire l’evoluzione dei tratti in termini formali. Il passo evolutivo elementare è la sostituzione di un gruppo residente da parte di uno innovativo. Se gruppi innovativi e residenti coesistono ha invece luogo un cosiddetto “branching” evolutivo, mentre è anche possibile l'estinzione di gruppi. La complessità dei processi di innovazione e competizione non è quindi solo dovuta a fenomeni non lineari, ma anche all'insorgere di regimi che coinvolgono ripetuti eventi di branching e estinzione.
  • Sincronizzazione in reti di sistemi dinamici: Il funzionamento sincrono di reti di sistemi dinamici ha spesso conseguenze importanti. Per esempio, la sincronizzazione facilita il controllo delle epidemie in reti sociali spazialmente estese, ma aumenta il rischio di estinzione di specie animali o vegetali in reti ecologiche. E’ pertanto di grande importanza poter disporre di elementi teorici relativi alla tendenza alla sincronizzazione nelle reti, per poter ottimizzare il progetto di una rete nuova o migliorare significativamente la struttura di una rete già esistente.
  • Formazione di configurazioni in sistemi spazialmente distribuiti: I sistemi spazialmente distribuiti sono spesso descritti da equazioni alle derivate parziali con termini di reazione e diffusione. Tali equazioni, supponendo perfetta omogeneità spaziale, ammettono una soluzione uniforme che può però diventare instabile al variare di qualche parametro di controllo o al variare della dispersione. Questo tipo di instabilità, noto come instabilità diffusiva o “alla Turing”, è la causa della nascita di soluzioni stabili spazialmente non omogenee, cioè di configurazioni (“pattern”).
  • Processi di contatto in sistemi a rete: Uno dei più importanti contributi recenti alla teoria dei processi di contatto è consistito nella scoperta che la topologia della rete di diffusione influenza profondamente le modalità di propagazione tra gli agenti. Molte questioni rimangono però ancora completamente inesplorate, sia nell’epidemiologia propriamente detta che in settori affini, quali lo studio della diffusione di informazioni o dell’invasione di nuove idee e prassi nella scienza e nella tecnologia. In particolare, è di grande interesse la comprensione di questi fenomeni quando la topologia della rete varia nel tempo, in modo esogeno o, al contrario, per effetto della diffusione stessa del processo di contatto (reti adattative).

Parte dell’attività di ricerca è svolta in collaborazione con: International Institute for Applied Systems Analysis (IIASA), Laxenburg, e Technical University of Vienna (Austria); University of Utrecht e University of Wageningen (Paesi Bassi); Ecole Normale Supérieure, Paris (Francia); Cornell University, Massachusetts Institute of Technology (MIT), and Princeton University (USA).

Risutati principali della ricerca


Nel seguito vengono sinteticamente presentati i principali risultati della ricerca nei campi sopra elencati. Si tratta di contributi di tipo teorico, oppure relativi a metodi di analisi numerica, o infine legati all’applicazione di tali metodi nella soluzione di problemi di analisi, identificazione e controllo in specifici settori applicativi.
  • Nel campo dell’analisi di biforcazione di sistemi standard: sono stati ottenuti alcuni significativi contribuiti teorici riguardanti le biforcazioni di codimensione 2, e i corrispondenti metodi di analisi numerica sono stati implementati nel pacchetto software Matcont che, assieme ad AUTO, rappresenta lo standard a livello internazionale. Ancora a livello numerico, è stata sviluppata un’estensione di AUTO per la continuazione dei punti di “branching”, cioè delle intersezioni trasversali tra famiglie di soluzioni di problemi di continuazione sia algebrici che differenziali. Per quanto riguarda le applicazioni dell’analisi di biforcazione, studi recenti hanno riguardato le dinamiche di apprendimento di agenti naturali e artificiali, la perdita di stabilità in autoveicoli stradali, il collasso di culture in competizione e la bistabilità nelle relazioni sentimentali.
  • Nel campo dei sistemi discontinui: è stato sviluppato il primo software di continuazione per sistemi discontinui alla Filippov, chiamato SlideCont. Alcune importanti biforcazioni, che appaiono unicamente in sistemi discontinui, sono state analizzate e classificate per sistemi 2-, 3-, e n-dimensionali. La conoscenza dettagliata degli effetti dinamici di queste biforcazioni ha permesso di spiegare fenomeni complessi in sistemi ecologici e sociali, nonché in sistemi di controllo.
  • Nel campo dell’evoluzione di sistemi adattativi: sono state ricavate condizioni necessarie e sufficienti perché un gruppo innovativo sostituisca un gruppo residente. E' stato esplorato il ruolo dell'analisi di biforcazione per lo studio e il controllo di processi di innovazione e competizione. Sono stati analizzati cicli limite di un singolo tratto e cicli limite caratterizzati dalla temporanea presenza di un tratto, periodicamente generato da un evento di branching e distrutto da un successivo evento di estinzione. Inoltre, è stato ricavato il primo attrattore caotico evolutivo, a dimostrazione formale della complessità dei meccanismi evolutivi, capaci di generare forme sempre innovative anche a fronte di condizioni ambientali invarianti. I contributi applicativi riguardano invece la formulazione, analisi e controllo di vari modelli di processi di innovazione e competizione, in contesto biologico, economico e sociale.
  • Nel campo della sincronizzazione in reti di sistemi dinamici: è stata studiata la relazione esistente negli ecosistemi spazialmente distribuiti tra fattori stabilizzanti le dinamiche locali e fattori sincronizzanti l'intero ecosistema. Inoltre, sempre in contesto ecologico, è stato studiato il fenomeno della sincronizzazione di ecosistemi costituiti da popolazioni che hanno dinamiche molto diversificate e capacità migratorie intermittenti legate alla erraticità meteorologica. Ciò ha permesso di interpretare sinteticamente il fenomeno della sincronizzazione delle infestazioni forestali dovute alla propagazione di insetti defogliatori.
  • Nel campo della formazione di configurazioni in sistemi spazialmente distribuiti: le condizioni necessarie e sufficienti per la formazione di pattern nei sistemi del secondo ordine (dovute a Turing, 1952) sono state recentemente estese a sistemi di ordine qualunque e una condizione sufficiente, molto semplice ma efficace, è stata da esse estratta. Tale condizione permette di spiegare fenomeni finora solo in parte capiti, come quelli della patchiness del plankton e della formazione di chiazze vegetazionali nelle foreste attaccate da insetti.
  • Nel campo dei processi di contatto in sistemi a rete: sono state approfondite le proprietà dinamiche di alcuni specifici processi epidemiologici, mostrando che, al contrario di quanto spesso sostenuto in letteratura, topologie di rete ad alta eterogeneità di grado non necessariamente avvantaggiano la diffusione dell’epidemia. Inoltre, con riferimento a processi epidemiologici caratterizzati da stagionalità, si sono analizzati i legami tra complessità topologica della rete e complessità dinamica del regime epidemiologico.